Упр.22.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: а) $$\sin^2 x+\sin^2 3x=0$$; б) $$\cos^4 2x+1=\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$.

Рассмотрим уравнение $$x^2\cdot \tg x+9\tg x=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$\tg x\,(x^2+9)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $$\tg x=0,$$ тогда $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
2. $$x^2+9=0,$$ но это уравнение не имеет действительных корней.

Значит, решение только одно:

$$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ход решения

Рассмотрим уравнение $$x^2\cdot \ctg x-4|\ctg x|=0.$$

Распишем по знаку $$\ctg x$$.

1. Если $$\ctg x=0,$$ то

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

2. Если $$\ctg x>0,$$ то $$|\ctg x|=\ctg x,$$ и получаем

   $$x^2\ctg x-4\ctg x=0,$$

   $$\ctg x\,(x^2-4)=0.$$

   Так как $$\ctg x>0,$$ то остаётся

   $$x^2-4=0,\quad x=\pm 2.$$

   Проверяем знак: $$\ctg 2<0,$$ а $$\ctg(-2)>0,$$ значит подходит только $$x=-2.$$

3. Если $$\ctg x<0,$$ то $$|\ctg x|=-\ctg x,$$ и тогда

   $$x^2\ctg x+4\ctg x=0,$$

   $$\ctg x\,(x^2+4)=0.$$

   Но $$x^2+4=0$$ не имеет действительных корней, поэтому новых решений нет.

Ответ: $$x=-2,\; \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$