Упр.22.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: а) $$y=\arcsin\frac{x}{2}+\sqrt{\sin x+\frac{1}{2}}$$; б) $$y=\arccos(2x-1)+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}-\cos x}$$.

Рассмотрим уравнение по случаям.

а)

$$\left(2x-3\right)|\sin x|=\sin x$$

Если $$\sin x=0,$$ то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и получаем

$$\left(2x-3\right)\sin x=\sin x,$$

$$2x-3=1,$$

$$2x=4,$$

$$x=2.$$

Проверка: $$\sin 2>0,$$ значит, это решение подходит.

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда

$$\left(2x-3\right)(-\sin x)=\sin x,$$

$$2x-3=-1,$$

$$2x=2,$$

$$x=1.$$

Проверка: $$\sin 1>0,$$ значит, это значение не подходит.

Итак, $$x=\pi n$$ или $$x=2.$$

б)

$$\left(3x-7\right)\cos x=5|\cos x|$$

Если $$\cos x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$\cos x>0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и получаем

$$\left(3x-7\right)\cos x=5\cos x,$$

$$3x-7=5,$$

$$3x=12,$$

$$x=4.$$

Проверка: $$\cos 4<0,$$ значит, это решение не подходит.

Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

$$\left(3x-7\right)\cos x=-5\cos x,$$

$$3x-7=-5,$$

$$3x=2,$$

$$x=\frac23.$$

Проверка: $$\cos \frac23>0,$$ значит, это значение не подходит.

Следовательно, остаются только решения

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ 2.$$ б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$