Упр.22.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   
   а) $$y=\sqrt{\sin x}+\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$$
   
   б) $$y=\sqrt{\cos x-\frac{1}{2}}+\operatorname{ctg}2x$$
   
   в) $$y=\operatorname{tg}2x-\frac{1}{\sqrt{1-2\sin x}}$$
   
   г) $$y=\frac{1}{\sin 4x}-\sqrt{\cos-\frac{1}{\sqrt{2}}}$$

Найдём область определения каждой функции, учитывая, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а знаменатели — отличны от нуля.

а)

$$y=\sqrt{\sin x}+\frac{1}{\sqrt{\cos x}}$$

Требуется:

$$\sin x\ge 0,\qquad \cos x>0.$$

Пересечение этих условий даёт

$$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$y=\sqrt{\cos x-\frac12}+\ctg 2x$$

Требуется:

$$\cos x-\frac12\ge 0,\qquad \sin 2x\ne 0.$$

То есть

$$\cos x\ge \frac12,\qquad x\ne \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

Из условия $$\cos x\ge \frac12$$ получаем

$$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

Исключаем точки, где $$\sin 2x=0$$, то есть $$x=\pi n/2$$. В итоге

$$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\setminus\left\{\frac{\pi n}{2}\right\},\qquad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$y=\tg 2x-\frac{1}{\sqrt{1-2\sin x}}$$

Требуется:

$$\cos 2x\ne 0,\qquad 1-2\sin x>0.$$

Следовательно,

$$x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad \sin x<\frac12.$$

Неравенство $$\sin x<\frac12$$ выполняется при

$$x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{13\pi}{6}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos 2x\ne 0$$ получаем область определения:

$$x\in\left\{x:\sin x<\frac12,\ \cos 2x\ne 0\right\}.$$

г)

$$y=\frac{1}{\sin 4x}-\sqrt{\cos x-\frac{1}{\sqrt2}}$$

Требуется:

$$\sin 4x\ne 0,\qquad \cos x-\frac{1}{\sqrt2}\ge 0.$$

То есть

$$\sin 4x\ne 0,\qquad \cos x\ge \frac{\sqrt2}{2}.$$

Из второго условия

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right],\qquad n\in\mathbb Z.$$

Из первого условия

$$x\ne \frac{\pi n}{4},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]\setminus\left\{\frac{\pi n}{4}\right\},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\in\left[-\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{\pi}{3}+2\pi n\right]\setminus\left\{\frac{\pi n}{2}\right\},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x:\ \cos 2x\ne 0,\ \sin x<\frac12.$$

г) $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{4}+2\pi n\right]\setminus\left\{\frac{\pi n}{4}\right\},\ n\in\mathbb Z.$$