Упр.22.54 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)>\frac{1}{3}$$
б) $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)<\frac{\sqrt{2}}{2}$$
в) $$\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>-\frac{1}{4}$$
г) $$\sin\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)<\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности.

1. $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)>\frac13$$

   Пусть $$t=2x-\frac{\pi}{3}.$$ Тогда нужно решить неравенство $$\sin t>\frac13.$$

   Обозначим $$\alpha=\arcsin\frac13.$$ Тогда

   $$\sin t>\frac13 \iff t\in\left(\alpha+2\pi k,\ \pi-\alpha+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$2x-\frac{\pi}{3}\in\left(\alpha+2\pi k,\ \pi-\alpha+2\pi k\right).$$

   Отсюда

   $$x\in\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{2\pi-\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)<\frac{\sqrt2}{2}$$

   Так как $$\frac{\sqrt2}{2}=\cos\frac{\pi}{4},$$ то

   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)<\cos\frac{\pi}{4}.$$

   Для косинуса имеем

   $$\frac{\pi}{4}-x\in\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$-x\in\left(2\pi k,\ \frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),$$

   значит

   $$x\in\left(-\frac{3\pi}{2}-2\pi k,\ -2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Можно записать и так:

   $$x\in\left(2\pi k,\ \frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

3. $$\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>-\frac14$$

   Пусть $$t=3x-\frac{\pi}{6}.$$ Тогда

   $$\cos t>-\frac14.$$

   Обозначим $$\beta=\arccos\left(-\frac14\right).$$ Тогда

   $$\cos t>-\frac14 \iff t\in\left(-\beta+2\pi k,\ \beta+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$3x-\frac{\pi}{6}\in\left(-\beta+2\pi k,\ \beta+2\pi k\right).$$

   Отсюда

   $$x\in\left(\frac{\pi/6-\beta}{3}+\frac{2\pi k}{3},\ \frac{\pi/6+\beta}{3}+\frac{2\pi k}{3}\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)<\frac{\sqrt3}{2}$$

   Так как $$\frac{\sqrt3}{2}=\sin\frac{\pi}{3},$$ то

   $$\sin\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)<\sin\frac{\pi}{3}.$$

   Для синуса получаем

   $$\frac{3\pi}{4}-x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ \frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$-x\in\left(-\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\ -\frac{5\pi}{12}+2\pi k\right),$$

   значит

   $$x\in\left(\frac{5\pi}{12}-2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}-2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

   Эквивалентно:

   $$x\in\left(\frac{5\pi}{12}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\arcsin\frac13}{2}+\frac{\pi}{6}+\pi k,\ \frac{2\pi-\arcsin\frac13}{2}+\frac{\pi}{6}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$

б) $$x\in\left(2\pi k,\ \frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z;$$

в) $$x\in\left(\frac{\pi/6-\arccos\left(-\frac14\right)}{3}+\frac{2\pi k}{3},\ \frac{\pi/6+\arccos\left(-\frac14\right)}{3}+\frac{2\pi k}{3}\right),\ k\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in\left(\frac{5\pi}{12}+2\pi k,\ \frac{5\pi}{4}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$