Упр.22.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\sin 2x<\frac{1}{2}$$;
   б) $$3\cos 4x<1$$;
   в) $$\cos 3x>\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   г) $$7\sin x/2>-1$$.

а) $$y=\sin x+\sqrt{-\cos^2 x}$$

Чтобы выражение имело смысл, нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$-\cos^2 x\ge 0.$$

Так как $$\cos^2 x\ge 0,$$ то возможно только

$$\cos^2 x=0,\qquad \cos x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

При этих значениях

$$y=\sin x.$$

Если $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$ то $$y=1.$$

Если $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,$$ то $$y=-1.$$

Значит,

$$E(y)=\{-1;1\}.$$

б) $$y=\cos x+\sqrt{-\sin^2 x}$$

Для существования функции нужно, чтобы

$$-\sin^2 x\ge 0.$$

Следовательно,

$$\sin^2 x=0,\qquad \sin x=0,\qquad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$y=\cos x.$$

Если $$x=2\pi k,$$ то $$y=1.$$

Если $$x=\pi+2\pi k,$$ то $$y=-1.$$

Следовательно,

$$E(y)=\{-1;1\}.$$

Ответ: а) $$\{-1;1\}$$; б) $$\{-1;1\}$$.