Упр.22.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$\operatorname{tg}^{2} x > 9$$; б) $$\operatorname{tg}^{2} x > \operatorname{tg} x$$; в) $$\operatorname{tg}^{2} x < 9$$; г) $$\operatorname{tg}^{2} x < 2\operatorname{tg} x$$.

Найдём область определения каждой функции.

1. $$y=\frac{\sin x}{2\cos x-1}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$2\cos x-1\ne 0$$
   $$\cos x\ne \frac12$$
   $$x\ne \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$y=\frac{\ctg x}{\pi-3\cos x}$$

   Нужно, чтобы были определены и числитель, и знаменатель:

   $$\sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$
   $$\pi-3\cos x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x\ne \frac{\pi}{3}.$$

   Но $$\frac{\pi}{3}>1,$$ поэтому равенство $$\cos x=\frac{\pi}{3}$$ невозможно ни при каком $$x.$$ Следовательно, дополнительного ограничения нет.

3. $$y=\frac{\sqrt{x}}{\sin x}$$

   Для корня нужно:

   $$x\ge 0.$$

   Для знаменателя:

   $$\sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Итак,

   $$x\ge 0,\quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

4. $$y=\frac{\tg x}{\sqrt{x-5}}$$

   Для корня нужно:

   $$x-5>0 \quad \Rightarrow \quad x>5.$$

   Для тангенса:

   $$\cos x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x>5,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\ne \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
б) $$x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
в) $$x\ge 0,\ x\ne \pi n,\ n\in \mathbb Z;$$
г) $$x>5,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$