Упр.22.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство: а) $$\operatorname{tg} x<3$$; б) $$3\operatorname{ctg} x-1>0$$; в) $$\operatorname{ctg} x\leq 2$$; г) $$2\operatorname{tg} x+1\geq 0$$.

а) $$\sqrt{16-x^2}\cdot \sin x=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{16-x^2}=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$

1) $$\sqrt{16-x^2}=0 \Rightarrow 16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 4.$$

2) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Но выражение имеет смысл только при

$$16-x^2\ge 0 \Rightarrow -4\le x\le 4.$$

Из серии $$x=\pi n$$ этому промежутку принадлежат только $$x=0,\ \pi,\ -\pi$$, но $$\pi>4$$ и $$-\pi<-4$$, значит остаётся лишь $$x=0.$$

Итак, корни: $$-4,\ 0,\ 4.$$

б) $$\left(\sqrt2\cos x-1\right)\sqrt{4x^2-7x+3}=0$$

Произведение равно нулю, если

$$\sqrt2\cos x-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{4x^2-7x+3}=0.$$

1) $$\sqrt2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{4x^2-7x+3}=0 \Rightarrow 4x^2-7x+3=0.$$

$$D=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8} \Rightarrow x=\frac34,\ 1.$$

Проверим область определения:

$$4x^2-7x+3\ge 0 \Rightarrow \left(x-\frac34\right)(x-1)\ge 0,$$

то есть $$x\le \frac34$$ или $$x\ge 1.$$

Все найденные значения подходят.

Ответ: $$1,\ \frac34,\ -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sqrt{7x-x^2}\cdot (2\cos x-1)=0$$

Тогда

$$\sqrt{7x-x^2}=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

1) $$\sqrt{7x-x^2}=0 \Rightarrow 7x-x^2=0 \Rightarrow x(7-x)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=7.$$

2) $$2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Область определения:

$$7x-x^2\ge 0 \Rightarrow x(7-x)\ge 0 \Rightarrow 0\le x\le 7.$$

Из серии $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$ этому промежутку принадлежат только

$$\frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}.$$

Итак, корни: $$0,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ 7.$$

г) $$\left(2\sin x-\sqrt3\right)\sqrt{3x^2-7x+4}=0$$

Тогда

$$2\sin x-\sqrt3=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3x^2-7x+4}=0.$$

1) $$2\sin x-\sqrt3=0 \Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt{3x^2-7x+4}=0 \Rightarrow 3x^2-7x+4=0.$$

$$D=49-48=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{6} \Rightarrow x=1,\ \frac43.$$

Область определения:

$$3x^2-7x+4\ge 0 \Rightarrow (3x-4)(x-1)\ge 0,$$

то есть $$x\le 1$$ или $$x\ge \frac43.$$

Все найденные значения подходят.

Ответ: $$1,\ \frac43,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$