Упр.22.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\operatorname{tg} x < \sqrt{3}$$;
2. $$\operatorname{ctg} x > 0$$;
3. $$\operatorname{tg} x < 0$$;
4. $$\operatorname{ctg} x > -1$$.

а) Рассмотрим случаи по знаку $$x+3$$.

1) Если $$x=-3$$, то равенство выполняется.

2) Если $$x>-3$$, то $$|x+3|=x+3$$, и получаем

$$(x+3)\sin x=x+3.$$

Так как $$x+3\neq 0$$, то

$$\sin x=1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) Если $$x<-3$$, то $$|x+3|=-(x+3)$$, и тогда

$$-(x+3)\sin x=x+3.$$

Так как $$x+3\neq 0$$, то

$$\sin x=-1,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Итак,

$$x=-3,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим случаи по знаку $$x-6$$.

1) Если $$x=6$$, то равенство выполняется.

2) Если $$x>6$$, то $$|x-6|=x-6$$, и получаем

$$2(x-6)\cos x=x-6.$$

Так как $$x-6\neq 0$$, то

$$\cos x=\frac12,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$x>6$$ остаются значения

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n=2,3,4,\dots$$

3) Если $$x<6$$, то $$|x-6|=-(x-6)$$, и тогда

$$-2(x-6)\cos x=x-6.$$

Так как $$x-6\neq 0$$, то

$$\cos x=-\frac12,$$

откуда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$x<6$$ остаются значения

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n=0,-1,-2,\dots$$

и

$$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n=0,-1,-2,\dots$$

Итак,

$$x=6,\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n\ (n=2,3,4,\dots),\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n\ (n=0,-1,-2,\dots).$$

Ответ: а) $$x=-3,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=6,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\ (n=2,3,4,\dots),\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n\ (n=0,-1,-2,\dots).$$