Упр.22.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$6\cos^2 x+5\cos x+1=0$$;

б) $$3+9\cos x=5\sin^2 x$$.

a) Обозначим $$y=\cos x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6y^2+5y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{2\cdot 6}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{-5-1}{12}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{-5+1}{12}=-\frac13.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z};$$

$$\cos x=-\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

б) Преобразуем уравнение, используя $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$3+9\cos x=5\sin^2 x,$$

$$3+9\cos x=5(1-\cos^2 x),$$

$$5\cos^2 x+9\cos x-2=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$5y^2+9y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-2)=81+40=121,$$

$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{2\cdot 5}.$$

Получаем:

$$y_1=-2 \quad \text{(не подходит, так как } \cos x\in[-1;1]\text{)},$$

$$y_2=\frac15.$$

Значит,

$$\cos x=\frac15 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos\!\left(\frac15\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z};\quad x=\pm \arccos\!\left(-\frac13\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$ б) $$x=\pm \arccos\!\left(\frac15\right)+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$