Упр.22.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$6\cos^2 t+\sin t>4$$; б) $$6\cos^2 t+\sin t\leq 4$$.

Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases} \cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt2}{2},\\ |x+2|<3. \end{cases}$$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) Второе неравенство

$$|x+2|<3$$

$$-3<x+2<3$$

$$-5<x<1$$

2) Первое неравенство

$$\cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt2}{2}$$

Так как $$\cos \theta<\frac{\sqrt2}{2}$$ при

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<\theta<\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<3x+\frac{\pi}{4}<\frac{7\pi}{4}+2\pi n.$$

Вычтем $$\frac{\pi}{4}$$ и разделим на $$3$$:

$$\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Теперь пересечём это с условием $$-5<x<1$$.

При $$n=-3,-2,-1,0$$ получаем подходящие промежутки:

$$-5<x<-\frac{3\pi}{2}, \qquad -\frac{4\pi}{3}<x<-\frac{5\pi}{6}, \qquad -\frac{2\pi}{3}<x<-\frac{\pi}{6}, \qquad 0<x<1.$$

Ответ

$$-5<x<-\frac{3\pi}{2};\quad -\frac{4\pi}{3}<x<-\frac{5\pi}{6};\quad -\frac{2\pi}{3}<x<-\frac{\pi}{6};\quad 0<x<1.$$