Упр.22.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

• а) $$\sin t < \frac{1}{3}$$;
• б) $$\sin t > -0{,}6$$;
• в) $$\sin t \geq \frac{1}{3}$$;
• г) $$\sin t < -0{,}6$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно и запишем ответ как пересечение решений.

а)

$$\sin x<\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Значение $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ достигается при

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б)

$$\tg x>1{,}5$$

Пусть $$\alpha=\arctg 1{,}5$$. Тогда

$$x=\alpha+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

и с учётом возрастания функции $$\tg x$$ на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$ получаем

$$\arctg 1{,}5+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

в)

$$\sin x\ge \frac{1}{3}$$

Обозначим $$\beta=\arcsin \frac{1}{3}$$. Тогда решения лежат на дуге, где синус не меньше $$\frac13$$:

$$\beta+2\pi n\le x\le \pi-\beta+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

г)

$$\sin x<-0{,}6$$

Пусть $$\gamma=\arcsin 0{,}6$$. Тогда

$$-\pi-\gamma+2\pi n<x<-\gamma+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } -\frac{4\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};\\ &\text{б) } \arctg 1{,}5+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};\\ &\text{в) } \arcsin \frac{1}{3}+2\pi n\le x\le \pi-\arcsin \frac{1}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z};\\ &\text{г) } -\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi n<x<-\arcsin 0{,}6+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}. \end{aligned}$$