Упр.22.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\sin t > \frac{\sqrt{3}}{2}$$;

б) $$\sin t > -\frac{1}{2}$$;

в) $$\sin t < -\frac{\sqrt{3}}{2}$$;

г) $$\sin t \leq -\frac{1}{2}$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Синус больше $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ на промежутке между углами $$\frac{\pi}{3}$$ и $$\frac{2\pi}{3}$$, с периодом $$2\pi$$:

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin t>-\frac12$$

   Значение $$-\frac12$$ синус принимает при $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ и $$t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$. Между этими точками синус больше $$-\frac12$$:

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin t<-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Синус меньше $$-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ на промежутке между углами $$\frac{4\pi}{3}$$ и $$\frac{5\pi}{3}$$:

   $$\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin t\le -\frac12$$

   Это выполняется на отрезке, где синус не больше $$-\frac12$$:

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } \frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\\ &\text{б) } -\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\\ &\text{в) } \frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\\ &\text{г) } -\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$