Упр.22.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: а) $$4\cos^2 t<1$$; б) $$3\cos^2 t<\cos t$$; в) $$9\cos^2 t>1$$; г) $$3\cos^2 t>\cos t$$.

а) $$4\cos^2 t<1$$

$$\cos^2 t<\frac14$$

$$-\frac12<\cos t<\frac12$$

Для косинуса это выполняется при

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\cos^2 t<\cos t$$

$$3\cos^2 t-\cos t<0$$

$$\cos t(3\cos t-1)<0$$

Произведение отрицательно, когда множители разных знаков. С учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем

$$0<\cos t<\frac13.$$

Следовательно,

$$\arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$9\cos^2 t>1$$

$$\cos^2 t>\frac19$$

$$|\cos t|>\frac13$$

Значит,

$$\cos t>\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t<-\frac13.$$

Отсюда

$$2\pi n-\arccos\frac13<t<2\pi n+\arccos\frac13$$

или

$$2\pi n+\arccos\!\left(-\frac13\right)<t<2\pi n+2\pi-\arccos\!\left(-\frac13\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$3\cos^2 t>\cos t$$

$$3\cos^2 t-\cos t>0$$

$$\cos t(3\cos t-1)>0$$

Произведение положительно, когда множители одного знака:

$$\cos t<0 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$

Значит,

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$

или

$$2\pi n-\arccos\frac13<t<2\pi n+\arccos\frac13,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; б) $$\arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; в) $$|\cos t|>\frac13$$; г) $$\cos t<0$$ или $$\cos t>\frac13,\quad n\in\mathbb Z.$$