Упр.22.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$3\cos^2 t-4\cos t>4$$;
2. $$6\cos^2 t+1>5\cos t$$;
3. $$3\cos^2 t-4\cos t<4$$;
4. $$6\cos^2 t+1<5\cos t$$.

а) $$\sin 2x<\frac12$$

Решим сначала уравнение $$\sin 2x=\frac12.$$ Тогда

$$2x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Подходящие точки при $$n=0$$ и $$n=-1$$:

$$x_1=-\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{2}=-\frac{7\pi}{12}, \qquad x_2=\frac{\pi}{12}.$$

Так как требуется $$\sin 2x<\frac12,$$ получаем

$$-\frac{7\pi}{12}+\pi n<x<\frac{\pi}{12}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\cos 4x<1$$

$$\cos 4x<\frac13.$$

Решим уравнение $$\cos 4x=\frac13.$$ Тогда

$$4x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac14\arccos\frac13+\frac{\pi n}{2}.$$

Границы промежутка:

$$x_1=-\frac14\arccos\frac13,\qquad x_2=\frac14\arccos\frac13.$$

Следовательно,

$$-\frac14\arccos\frac13+\frac{\pi n}{2}<x<\frac14\arccos\frac13+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\cos 3x>\frac{\sqrt3}{2}$$

Решим уравнение $$\cos 3x=\frac{\sqrt3}{2}.$$ Тогда

$$3x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Для неравенства получаем

$$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

г) $$7\sin\frac{x}{2}>-1$$

$$\sin\frac{x}{2}>-\frac17.$$

Решим уравнение $$\sin\frac{x}{2}=-\frac17.$$ Тогда

$$\frac{x}{2}=(-1)^{n+1}\arcsin\frac17+\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}2\arcsin\frac17+2\pi n.$$

Границы промежутка:

$$x_1=-2\arcsin\frac17,\qquad x_2=2\pi+2\arcsin\frac17.$$

Значит,

$$-2\arcsin\frac17+4\pi n<x<2\pi+2\arcsin\frac17+4\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{7\pi}{12}+\pi n<x<\frac{\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$-\frac14\arccos\frac13+\frac{\pi n}{2}<x<\frac14\arccos\frac13+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

г) $$-2\arcsin\frac17+4\pi n<x<2\pi+2\arcsin\frac17+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$