Упр.22.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\cos t < \frac{2}{3}$$;
   б) $$\cos t > -\frac{1}{7}$$;
   в) $$\cos t > \frac{2}{3}$$;
   г) $$\cos t < -\frac{1}{7}$$.

Положим $$t=\tg x.$$ Тогда неравенства сводятся к квадратным относительно $$t$$.

а)

$$\tg^2 x>9$$

$$t^2>9$$

$$t^2-9>0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+3\right)>0$$

Отсюда $$t<-3$$ или $$t>3$$, то есть

$$\tg x<-3$$ или $$\tg x>3.$$

Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$\left(-\dfrac{\pi}{2}+\pi n;\dfrac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем:

$$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 3+\pi n$$

или

$$\arctg 3+\pi n<x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\tg^2 x>\tg x$$

$$t^2>t$$

$$t^2-t>0$$

$$t\left(t-1\right)>0$$

Отсюда $$t<0$$ или $$t>1$$, то есть

$$\tg x<0$$ или $$\tg x>1.$$

Следовательно,

$$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi n$$

или

$$\dfrac{\pi}{4}+\pi n<x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$\tg^2 x<9$$

$$t^2<9$$

$$t^2-9<0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+3\right)<0$$

Отсюда $$-3<t<3$$, то есть

$$-3<\tg x<3.$$

На каждом промежутке монотонности тангенса получаем

$$-\arctg 3+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$\tg^2 x<2\tg x$$

$$t^2<2t$$

$$t^2-2t<0$$

$$t\left(t-2\right)<0$$

Отсюда $$0<t<2$$, то есть

$$0<\tg x<2.$$

Следовательно,

$$\pi n<x<\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x<-\arctg 3+\pi n$$ или $$\arctg 3+\pi n<x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x<\pi n$$ или $$\dfrac{\pi}{4}+\pi n<x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$-\arctg 3+\pi n<x<\arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$\pi n<x<\arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$