Упр.22.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

а) $$\cos t > \frac{1}{2}$$

б) $$\cos t \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

в) $$\cos t \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

г) $$\cos t < \frac{1}{2}$$

а) $$\cos x>\frac12$$

Решим сначала уравнение $$\cos x=\frac12.$$ Его решения:

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$[0;2\pi)$$ косинус больше $$\frac12$$ при

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos x\le -\frac{\sqrt2}{2}$$

Решим уравнение $$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$ Его решения:

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке $$[0;2\pi)$$ косинус не больше $$-\frac{\sqrt2}{2}$$ при

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\cos x\ge -\frac{\sqrt2}{2}$$

Из решения уравнения $$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}$$ получаем, что на каждом периоде

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\cos x<\frac12$$

Точки, в которых $$\cos x=\frac12$$, имеют вид

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда $$\cos x<\frac12$$ при

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
г) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.