Упр.22.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Сколько корней имеет уравнение:

а) $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\sqrt{8x-x^2-7}=0$$

б) $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\sqrt{10-x^2-3x}=0$$

Подробный ответ

Рассмотрим каждый множитель отдельно. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\sqrt{8x-x^2-7}=0$$
1) $$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
Тогда
$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$
2) $$\sqrt{8x-x^2-7}=0$$
Тогда
$$8x-x^2-7=0$$
$$x^2-8x+7=0$$
$$x=1 \text{ или } x=7$$
Проверим, входят ли эти значения в первую серию корней:
$$1=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$
и
$$7=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$
для целого $$n$$ не выполняется, значит, это отдельные корни.
Итак, уравнение имеет бесконечно много корней из первой серии и ещё два корня $$x=1$$ и $$x=7$$.
$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\sqrt{10-x^2-3x}=0$$
1) $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=0$$
Тогда
$$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$
2) $$\sqrt{10-x^2-3x}=0$$
Тогда
$$10-x^2-3x=0$$
$$x^2+3x-10=0$$
$$x=-5 \text{ или } x=2$$
Проверим, входят ли эти значения в первую серию корней:
$$-5=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad 2=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$
для целого $$n$$ не выполняется, значит, это отдельные корни.
Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней из первой серии и ещё два корня $$x=-5$$ и $$x=2$$.