Упр.22.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$(2x^2-12x+13)\sin x=3|\sin x|$$;
   б) $$(x^2+8x+11)|\cos 2x|=4\cos 2x$$.

а) $$6\cos^2 t+\sin t>4$$

Заменим $$\cos^2 t=1-\sin^2 t$$:

$$6-6\sin^2 t+\sin t>4$$

$$6\sin^2 t-\sin t-2<0$$

Пусть $$y=\sin t$$, тогда

$$6y^2-y-2<0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=1+48=49$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 7}{12}$$

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac23$$

Тогда

$$\left(y+\frac12\right)\left(y-\frac23\right)<0$$

$$-\frac12<y<\frac23$$

Возвращаясь к $$y=\sin t$$, получаем систему неравенств:

$$-\frac12<\sin t<\frac23$$

Отсюда

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$

и одновременно

$$-\pi-\arcsin\frac23+2\pi n<t<\arcsin\frac23+2\pi n$$

Пересечение этих промежутков даёт:

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\arcsin\frac23+2\pi n$$

или

$$\pi-\arcsin\frac23+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$

б) $$6\cos^2 t+\sin t\le 4$$

Аналогично преобразуем:

$$6-6\sin^2 t+\sin t\le 4$$

$$6\sin^2 t-\sin t-2\ge 0$$

Пусть $$y=\sin t$$. Тогда

$$6y^2-y-2\ge 0$$

Корни те же:

$$y_1=-\frac12,\qquad y_2=\frac23$$

Следовательно,

$$y\le -\frac12 \quad \text{или} \quad y\ge \frac23$$

То есть

$$\sin t\le -\frac12 \quad \text{или} \quad \sin t\ge \frac23$$

Отсюда

$$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n$$

или

$$\arcsin\frac23+2\pi n\le t\le \pi-\arcsin\frac23+2\pi n$$

Ответ

а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\arcsin\frac23+2\pi n,\quad \pi-\arcsin\frac23+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le t\le \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad \arcsin\frac23+2\pi n\le t\le \pi-\arcsin\frac23+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$