Упр.22.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\frac{8\cos x-3}{3\cos x+2}=1$$

б) $$\frac{3\cos x+1}{2}+\frac{5\cos x-1}{3}=1{,}75$$

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{8\cos x-3}{3\cos x+2}=1.$$

ОДЗ: $$3\cos x+2\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne -\frac23.$$

Умножим обе части на $$3\cos x+2$$:

$$8\cos x-3=3\cos x+2.$$

Тогда

$$5\cos x=5,$$

$$\cos x=1.$$

Это значение подходит по ОДЗ. Следовательно,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{3\cos x+1}{2}+\frac{5\cos x-1}{3}=1{,}75.$$

Умножим обе части на $$6$$:

$$3(3\cos x+1)+2(5\cos x-1)=1{,}75\cdot 6.$$

Получаем

$$9\cos x+3+10\cos x-2=10{,}5,$$

$$19\cos x+1=10{,}5,$$

$$19\cos x=9{,}5,$$

$$\cos x=\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$