Упр.22.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$x^2|\tg x|+9\tg x=0$$;

б) $$x^2\ctg x-4|\ctg x|=0$$.

Пусть $$y=\sin t.$$ Тогда неравенство

$$5\sin^2 t>11\sin t+12$$

примет вид

$$5y^2-11y-12>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-11)^2-4\cdot 5\cdot(-12)=121+240=361,$$

$$y_{1,2}=\frac{11\pm 19}{2\cdot 5}.$$

Получаем

$$y_1=-\frac45,\qquad y_2=3.$$

Тогда

$$5y^2-11y-12=(y+\tfrac45)(y-3),$$

и при $$>0$$ имеем

$$y<-\frac45 \quad \text{или} \quad y>3.$$

Но $$\sin t\le 1,$$ поэтому случай $$\sin t>3$$ невозможен. Остаётся

$$\sin t<-\frac45.$$

Значения $$t$$, при которых $$\sin t=-\frac45,$$ равны

$$t=-\arcsin\frac45+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\pi+\arcsin\frac45+2\pi n,$$

поэтому при $$\sin t<-\frac45$$ получаем

$$-\pi-\arcsin\frac45+2\pi n<t<-\arcsin\frac45+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$-\pi-\arcsin\frac45+2\pi n<t<-\arcsin\frac45+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$