Упр.22.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$(2x-3)|\sin x|=\sin x$$;
   б) $$(3x-7)\cos x=5|\cos x|$$.

а) $$\sin t<\frac13$$

Решим сначала уравнение $$\sin t=\frac13.$$ Его решения:

$$t=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Точки, в которых $$\sin t=\frac13,$$ делят ось на промежутки. На промежутке между ними синус меньше $$\frac13,$$ поэтому

$$-\pi-\arcsin\frac13+2\pi n<t<\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin t\ge -0{,}6$$

Решим уравнение $$\sin t=-0{,}6.$$ Тогда

$$t=(-1)^{n+1}\arcsin 0{,}6+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Границы искомого промежутка:

$$t_1=-\arcsin 0{,}6+2\pi n,\qquad t_2=\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n.$$

Следовательно,

$$-\arcsin 0{,}6+2\pi n\le t\le \pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin t\ge \frac13$$

Решим уравнение $$\sin t=\frac13.$$ Тогда

$$t=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Искомый промежуток:

$$\arcsin\frac13+2\pi n\le t\le \pi-\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin t<-0{,}6$$

Решим уравнение $$\sin t=-0{,}6.$$ Тогда

$$t=(-1)^{n+1}\arcsin 0{,}6+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

На промежутке, где синус меньше $$-0{,}6,$$ получаем

$$\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n<t<2\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$-\pi-\arcsin\frac13+2\pi n<t<\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$-\arcsin 0{,}6+2\pi n\le t\le \pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\arcsin\frac13+2\pi n\le t\le \pi-\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\pi+\arcsin 0{,}6+2\pi n<t<2\pi-\arcsin 0{,}6+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$