Упр.22.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$|\sin x|=|\cos x|$$;
2. $$\sqrt{3}\cot x=2|\cos x|$$;
3. $$|\sin 2x|=|\sqrt{3}\cos 2x|$$;
4. $$\sqrt{2}\tan x+2|\sin x|=0$$.

Рассмотрим каждое неравенство на тригонометрической окружности.

1. $$\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Значения $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ достигаются при

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Так как требуется $$\sin t>\frac{\sqrt{3}}{2},$$ получаем

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\sin t>-\frac{1}{2}$$

   Решения уравнения $$\sin t=-\frac{1}{2}$$:

   $$t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$\sin t<\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Границы задаются уравнением $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$$:

   $$t=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\sin t\le -\frac{1}{2}$$

   Решения уравнения $$\sin t=-\frac{1}{2}$$:

   $$t=-\frac{5\pi}{6}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   С учётом знака неравенства получаем

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ:

а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
б) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<t<\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
в) $$-\frac{4\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$
г) $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$