Упр.22.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите область значений функции:
а) $$y=\cos 3x+\sqrt{\cos^2(3x-1)}$$;
б) $$y=\sin 2x+\sqrt{\sin^2(4x-1)}$$.
а) Обозначим $$y=\cos t.$$ Тогда неравенство $$4\cos^2 t<1$$ переходит в
$$4y^2<1,$$
$$4y^2-1<0,$$
$$\left(2y-1\right)\left(2y+1\right)<0,$$
откуда
$$-\frac12<y<\frac12.$$
Так как $$y=\cos t,$$ получаем систему:
$$-\frac12<\cos t<\frac12.$$
Это равносильно пересечению двух неравенств:
$$\cos t>-\frac12,$$
$$\cos t<\frac12.$$
Первое даёт
$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
второе —
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$
Пересечение этих промежутков:
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Обозначим $$y=\cos t.$$ Тогда
$$3\cos^2 t<\cos t$$
переходит в
$$3y^2<y,$$
$$3y^2-y<0,$$
$$y(3y-1)<0.$$
Отсюда
$$0<y<\frac13.$$
Значит, нужно решить систему
$$0<\cos t<\frac13.$$
Из неравенства $$\cos t>0$$ получаем
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
а из неравенства $$\cos t<\frac13$$ —
$$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n.$$
Пересечение этих промежутков:
$$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) Обозначим $$y=\cos t.$$ Тогда
$$9\cos^2 t>1$$
переходит в
$$9y^2-1>0,$$
$$\left(3y-1\right)\left(3y+1\right)>0,$$
откуда
$$y<-\frac13 \quad \text{или} \quad y>\frac13.$$
То есть
$$\cos t<-\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$
Следовательно,
$$\pi-\arccos\frac13+2\pi n<t<\pi+\arccos\frac13+2\pi n,$$
или
$$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Обозначим $$y=\cos t.$$ Тогда
$$3\cos^2 t>\cos t$$
переходит в
$$3y^2-y>0,$$
$$y(3y-1)>0,$$
откуда
$$y<0 \quad \text{или} \quad y>\frac13.$$
Значит, нужно решить систему
$$\cos t<0 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac13.$$
Для первого неравенства
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
для второго
$$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n.$$
Итак,
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
или
$$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$\pi-\arccos\frac13+2\pi n<t<\pi+\arccos\frac13+2\pi n$$ или $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$\frac{\pi}{2}+2\pi n<t<\frac{3\pi}{2}+2\pi n$$ или $$-\arccos\frac13+2\pi n<t<\arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
