Упр.22.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: а) $$y=\sin x+\sqrt{-\cos^2 x}$$; б) $$y=\cos x+\sqrt{-\sin^2 x}$$.

Положим $$y=\cos t.$$ Тогда каждое неравенство сводится к квадратному относительно $$y$$.

а)

$$3\cos^2 t-4\cos t\ge 4$$

$$3y^2-4y-4\ge 0$$

Найдём корни:

$$D=16+48=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 8}{6},\quad y_1=-\frac23,\quad y_2=2.$$

Тогда

$$\left(y+\frac23\right)(y-2)\ge 0,$$

откуда с учётом $$-1\le \cos t\le 1$$ получаем

$$\cos t\le -\frac23.$$

Следовательно,

$$\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$6\cos^2 t-5\cos t+1>0$$

$$6y^2-5y+1>0$$

$$D=25-24=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{12},\quad y_1=\frac13,\quad y_2=\frac12.$$

Тогда

$$\left(y-\frac13\right)\left(y-\frac12\right)>0,$$

то есть

$$y<\frac13 \quad \text{или} \quad y>\frac12.$$

С учётом $$y=\cos t$$ получаем

$$\cos t<\frac13 \quad \text{или} \quad \cos t>\frac12.$$

Отсюда

$$\arccos\frac13+2\pi n<t<2\pi-\arccos\frac13+2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$3\cos^2 t-4\cos t<4$$

$$3y^2-4y-4<0$$

$$D=64,\quad y_1=-\frac23,\quad y_2=2.$$

Тогда

$$\left(y+\frac23\right)(y-2)<0,$$

откуда, с учётом $$-1\le y\le 1,$$

$$-\frac23<\cos t\le 1.$$

Значит,

$$-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$6\cos^2 t+1\le 5\cos t$$

$$6y^2-5y+1\le 0$$

$$D=1,\quad y_1=\frac13,\quad y_2=\frac12.$$

Тогда

$$\left(y-\frac13\right)\left(y-\frac12\right)\le 0,$$

то есть

$$\frac13\le \cos t\le \frac12.$$

Следовательно,

$$-\arccos\frac13+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n\le t\le 2\pi-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

б) $$\arccos\frac13+2\pi n<t<2\pi-\arccos\frac13+2\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+2\pi n<t<\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

в) $$-\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n<t<\arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$

г) $$-\arccos\frac13+2\pi n\le t\le -\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\le t\le \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$