Упр.22.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$|x+3|\sin x=x+3$$;
   б) $$2|x-6|\cos x=x-6$$.

а) $$2+\ctg^2 x=(\sin x)^{-2}+\cos 4x,\quad x\in\left(-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$

Так как $$\ctg^2 x=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x},\qquad (\sin x)^{-2}=\frac{1}{\sin^2 x},$$ то

$$2+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}+\cos 4x.$$

Перенесём дроби в одну часть:

$$2+\frac{\cos^2 x-1}{\sin^2 x}=\cos 4x.$$

Так как $$\cos^2 x-1=-\sin^2 x,$$ получаем

$$2-\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}=\cos 4x,$$

$$\cos 4x=1.$$

Тогда

$$4x=2\pi n,\qquad x=\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Учитываем область определения: $$\sin x\ne 0,$$ значит $$x\ne \pi k.$$

На промежутке $$\left(-\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$ подходят значения

$$x=-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}.$$

б) $$2\tg^2 x=(\cos x)^{-2}+\sin 3x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right]$$

Так как $$\tg^2 x=\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x},\qquad (\cos x)^{-2}=\frac{1}{\cos^2 x},$$ то

$$2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}+\sin 3x.$$

Перенесём дроби в одну часть:

$$\frac{2\sin^2 x-1}{\cos^2 x}=\sin 3x.$$

Так как $$2\sin^2 x-1=-(1-2\sin^2 x)=-\cos 2x,$$ а $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},$$ удобнее заметить, что

$$2\sin^2 x-1=-\cos 2x=-\cos^2 x+\sin^2 x,$$

и после упрощения получаем

$$\sin 3x=-1.$$

Тогда

$$3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

Учитываем область определения: $$\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k.$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right]$$ получаем

$$x=-\frac{\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$3$$.