Упр.22.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac{1}{2}$$ и найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$; в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$.

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac12$$

Преобразуем аргумент:

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12$$

Тогда

$$2x-\frac{\pi}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

2) $$2x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$2x=2\pi n,\qquad x=\pi n.$$

Итак, все корни уравнения:

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) Наименьший положительный корень: $$\frac{\pi}{3}.$$

б) Корни на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:

$$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}.$$

в) Наибольший отрицательный корень: $$-\frac{2\pi}{3}.$$

г) Корни на интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$:

$$-\frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}.$$