Упр.22.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$ и найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$; в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу $$\left[-\pi;\frac{\pi}{2}\right]$$.

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$

Синус равен $$-1$$, когда

$$2x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$2x=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2\pi n=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) Наименьший положительный корень получаем при $$n=1$$:

$$x=-\frac{\pi}{8}+\pi=\frac{7\pi}{8}.$$

б) Корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right],$$ при $$n=0$$ и $$n=1$$:

$$x_1=-\frac{\pi}{8},\qquad x_2=\frac{7\pi}{8}.$$

в) Наибольший отрицательный корень при $$n=0$$:

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

г) Корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right),$$ при $$n=0$$:

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$