Упр.22.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
а) $$\sin 3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$[0;2\pi]$$;
б) $$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$[-\pi;\pi]$$;
в) $$\tg\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, $$[-3\pi;3\pi]$$;
г) $$\ctg 4x=-1$$, $$[0;\pi]$$.
а) $$\sin 3x=\frac{\sqrt2}{2}, \quad x\in[0;2\pi].$$
Тогда
$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$
Подбираем значения, попадающие в отрезок $$[0;2\pi]$$:
$$x=\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12}.$$
б) $$\cos 3x=\frac{\sqrt3}{2}, \quad x\in[-\pi;\pi].$$
Тогда
$$3x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}.$$
На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:
$$x=-\frac{13\pi}{18},\ -\frac{11\pi}{18},\ -\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18}.$$
в) $$\tg\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{3}, \quad x\in[-3\pi;3\pi].$$
Так как $$\tg\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3},$$ то
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
следовательно,
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
На отрезке $$[-3\pi;3\pi]$$:
$$x=-\frac{5\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$
г) $$\ctg 4x=-1, \quad x\in[0;\pi].$$
Так как $$\ctg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$ то
$$4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем:
$$x=\frac{3\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16},\ \frac{15\pi}{16}.$$
Ответ: а) $$\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12}$$; б) $$-\frac{13\pi}{18},\ -\frac{11\pi}{18},\ -\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18}$$; в) $$-\frac{5\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$; г) $$\frac{3\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16},\ \frac{15\pi}{16}$$.
