Упр.22.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
а) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$
б) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$
в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$
г) $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$
а) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$
Значение $$\cos t=-1$$ достигается при $$t=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$ Тогда
$$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi k$$
$$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi k=\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$
$$x=-\frac{5\pi}{12}-\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$
Значение $$\tg t=-1$$ достигается при $$t=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$ Тогда
$$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi k$$
$$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi k$$
$$x=\pi-2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
Можно записать так: $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
Значение $$\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ достигается при
$$t=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
1) $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi k$$
$$-\frac{x}{4}=2\pi k$$
$$x=-8\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
2) $$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$$
$$-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi k$$
$$x=-\frac{4\pi}{3}-8\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
г) $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Значение $$\cos t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ достигается при
$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=-\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
1) $$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi k$$
$$-3x=2\pi k$$
$$x=-\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb{Z}.$$
2) $$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi k$$
$$-3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$
$$x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x=-\frac{5\pi}{12}-\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$; в) $$x=-8\pi k,\ x=-\frac{4\pi}{3}-8\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=-\frac{2\pi k}{3},\ x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb{Z}$$.
