Упр.22.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$
   б) $$\sqrt{3}\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=3$$
   в) $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$$
   г) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$$

а) $$2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=2\pi n \pm \frac{\pi}{6}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

1) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=2\pi n+\frac{\pi}{6}$$

$$\frac{x}{2}=2\pi n+\frac{\pi}{3}, \quad x=4\pi n+\frac{2\pi}{3}.$$

2) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=2\pi n-\frac{\pi}{6}$$

$$\frac{x}{2}=2\pi n, \quad x=4\pi n.$$

Итак,

$$x=4\pi n \quad \text{или} \quad x=4\pi n+\frac{2\pi}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$\sqrt{3}\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=3$$

$$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

Тогда

$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

в) $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$$

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда

$$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

1) $$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$

$$3x=2\pi n,\quad x=\frac{2\pi n}{3}.$$

2) $$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$

$$3x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Итак,

$$x=\frac{2\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb{Z}.$$

г) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$$

$$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-1$$

Тогда

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=4\pi n$$ или $$x=4\pi n+\frac{2\pi}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$

в) $$x=\frac{2\pi n}{3}$$ или $$x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z};$$

г) $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$