Упр.22.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнение: а) $$\operatorname{tg} x = 0$$; б) $$\operatorname{tg} x = -2$$; в) $$\operatorname{tg} x = -3$$; г) $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$$.
а) Пусть $$t=2x.$$ Тогда
$$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Общее решение:
$$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Пусть $$t=\frac{x}{3}.$$ Тогда
$$\cos t=-\frac12.$$
Общее решение:
$$t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$\frac{x}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
$$x=\pm2\pi+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$t=\frac{x}{4}.$$ Тогда
$$\sin t=\frac12.$$
Общее решение:
$$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Значит,
$$\frac{x}{4}=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) Пусть $$t=4x.$$ Тогда
$$\cos t=0.$$
Общее решение:
$$t=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pm2\pi+6\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=(-1)^n\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$.
