Упр.22.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$\operatorname{tg} x=1$$; б) $$\operatorname{tg} x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$; в) $$\operatorname{tg} x=-1$$; г) $$\operatorname{tg} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$.

Положим $$y=\tg x.$$ Тогда уравнения сводятся к квадратным относительно $$y$$.

а)

$$\tg^2 x-6\tg x+5=0$$

$$y^2-6y+5=0$$

$$D=36-20=16$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$

Получаем:

$$y_1=5,\qquad y_2=1$$

Тогда

$$\tg x=5 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

Следовательно,

$$x=\arctg 5+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

$$y^2-2y-3=0$$

$$D=4+12=16$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

Получаем:

$$y_1=3,\qquad y_2=-1$$

Тогда

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

Следовательно,

$$x=\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\arctg 5+\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\arctg 3+\pi n,\ \ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$