Упр.22.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:

1. а) $$\sin x=0{,}6$$, $$x\in\left(\frac{\pi}{4};3\pi\right)$$;
   б) $$\sin x=-\frac{2}{3}$$, $$x\in(2;7)$$.

а) $$\tg^2 x-3=0$$

$$\tg^2 x=3$$

$$\tg x=\pm \sqrt{3}$$

1) $$\tg x=\sqrt{3}$$, тогда

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left(\frac{\pi}{4};\,3\pi\right)$$ подходят значения:

$$\frac{\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$

2) $$\tg x=-\sqrt{3}$$, тогда

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left(\frac{\pi}{4};\,3\pi\right)$$ подходят значения:

$$\frac{2\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{8\pi}{3}$$

Итак, в пункте а) всего $$6$$ корней.

б) $$2\tg^2 x+3\tg x=0$$

$$\tg x(2\tg x+3)=0$$

Отсюда:

1) $$\tg x=0$$, значит

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left(2;\,7\right)$$ подходят:

$$x=\pi,\ 2\pi$$

2) $$2\tg x+3=0$$, значит

$$\tg x=-\frac{3}{2}$$

Общее решение:

$$x=-\arctg \frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

На промежутке $$\left(2;\,7\right)$$ подходят два значения:

$$x=\pi-\arctg \frac{3}{2},\quad x=2\pi-\arctg \frac{3}{2}$$

Итак, в пункте б) всего $$4$$ корня.

Ответ

а) $$6$$; б) $$4$$.