Упр.22.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
   а) $$\sin x=\frac{1}{2}$$, $$x$$ принадлежит $$\left(\frac{1}{2};\frac{11\pi}{4}\right)$$;
   б) $$\sin x=-\frac{1}{2}$$, $$x$$ принадлежит $$\left(-\frac{5\pi}{6};6\right)$$;
   в) $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x$$ принадлежит $$(-4;3)$$;
   г) $$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$x$$ принадлежит $$(-3;6)$$.

Используем общий вид решений уравнения $$\ctg x = a$$:

$$x=\operatorname{arcctg}(a)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

1. $$\ctg x=-\sqrt{3}$$

   $$x=\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})+\pi n=\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{3}+\pi n=\pi-\frac{\pi}{6}+\pi n=\frac{5\pi}{6}+\pi n.$$

2. $$\ctg x=-1$$

   $$x=\operatorname{arcctg}(-1)+\pi n=\pi-\operatorname{arcctg}1+\pi n=\pi-\frac{\pi}{4}+\pi n=\frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

3. $$\ctg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   $$x=\operatorname{arcctg}\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\pi n=\pi-\operatorname{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}+\pi n=\pi-\frac{\pi}{3}+\pi n=\frac{2\pi}{3}+\pi n.$$

4. $$\ctg x=-5$$

   $$x=\operatorname{arcctg}(-5)+\pi n=\pi-\operatorname{arcctg}5+\pi n.$$

Ответ:

а) $$x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pi-\operatorname{arcctg}5+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$