Упр.22.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$(2\cos x+1)(2\sin x-\sqrt{3})=0$$; б) $$2\cos x-3\sin x\cos x=0$$; в) $$4\sin^2 x-3\sin x=0$$; г) $$2\sin^2 x-1=0$$.

а) $$\sin^2\frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x-\cos^2\frac{3x}{4}+1.$$

Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$:

$$\sin^2\frac{3x}{4}+\cos^2\frac{3x}{4}-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x+1,$$

$$1-\frac{\sqrt2}{2}=\sin x+1,$$

$$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2 2x-1-\cos x=\frac{\sqrt3}{2}-\sin^2 2x.$$

Перенесём слагаемые и воспользуемся тождеством $$\sin^2 2x+\cos^2 2x=1$$:

$$\cos^2 2x+\sin^2 2x-1-\frac{\sqrt3}{2}=\cos x,$$

$$1-1-\frac{\sqrt3}{2}=\cos x,$$

$$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\pm\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+2\pi n=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

б) $$x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$