Упр.22.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение: а) $$\sin x=\frac{1}{4}$$; б) $$\sin x=\frac{\pi}{4}$$; в) $$\sin x=-\frac{1}{7}$$; г) $$\sin x=\frac{\pi}{3}$$.

а) $$6\sin^2 x+\sin x=2$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6y^2+y-2=0.$$

$$D=1+48=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{12}.$$

Отсюда:

$$y_1=-\frac{2}{3}, \qquad y_2=\frac{1}{2}.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sin x=-\frac{2}{3} \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n,$$

$$\sin x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\cos^2 x=7(\sin x+1)$$

Используем формулу $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$3(1-\sin^2 x)=7\sin x+7,$$

$$3-3\sin^2 x=7\sin x+7,$$

$$3\sin^2 x+7\sin x+4=0.$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда:

$$3y^2+7y+4=0.$$

$$D=49-48=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 1}{6}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{4}{3}, \qquad y_2=-1.$$

Значение $$\sin x=-\frac{4}{3}$$ невозможно, так как $$|\sin x|\le 1.$$

Остаётся:

$$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{2}{3}+\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$