Упр.21.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$2x^3-x+4=10x^2+2\cos\left(\arccos(0{,}5x-3)\right)$$;
   б) $$\sin\left(\arcsin(5x-4)\right)=\sqrt{10x+16}$$.

а) Используем свойства обратных тригонометрических функций:

$$\cos(\arccos(0{,}5x-3))=0{,}5x-3.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2x^3-x+4=10x^2+2(0{,}5x-3),$$

$$2x^3-x+4=10x^2+x-6,$$

$$2x^3-10x^2-2x+10=0,$$

$$2x^2(x-5)-2(x-5)=0,$$

$$2(x^2-1)(x-5)=0,$$

$$x=\pm1 \text{ или } x=5.$$

Проверим область определения:

$$-1\le 0{,}5x-3\le 1,$$

$$2\le 0{,}5x\le 4,$$

$$4\le x\le 8.$$

Из найденных корней этому условию удовлетворяет только $$x=5.$$

Ответ: $$5.$$

б) Так как $$\sin(\arcsin(5x-4))=5x-4,$$ получаем:

$$5x-4=\sqrt{10x+16}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\left(5x-4\right)^2=10x+16,$$

$$25x^2-40x+16=10x+16,$$

$$25x^2-50x=0,$$

$$25x(x-2)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

Проверим область определения:

$$-1\le 5x-4\le 1,$$

$$3\le 5x\le 5,$$

$$0{,}6\le x\le 1.$$

Ни одно из найденных значений этому условию не удовлетворяет, значит, корней нет.

Ответ: корней нет.