Упр.21.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- На сколько процентов:
а) число $$\arccos(\sin 45^\circ+\cos 135^\circ)$$ больше числа $$\arcsin\left|\cos\frac{7\pi}{3}\right|$$;
б) число $$\arccos(\sin 30^\circ+\cos 120^\circ)$$ больше числа $$\arcsin\left|\cos\frac{9\pi}{3}\right|$$;
в) число $$\arcsin\left(\cos\frac{9\pi}{4}\right)$$ меньше числа $$\arccos(\sin 30^\circ+\cos 120^\circ)$$;
г) число $$\arccos(\sin 60^\circ+\cos 150^\circ)$$ больше числа $$\arcsin\left(\cos\frac{13\pi}{6}\right)$$?
а) $$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos 135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \cos \frac{7\pi}{3}=\cos \frac{\pi}{3}=\frac12.$$
Тогда
$$\arccos(\sin 45^\circ+\cos 135^\circ)=\arccos 0=\frac{\pi}{2},$$
$$\arcsin\left|\cos \frac{7\pi}{3}\right|=\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6}.$$
Их отношение:
$$\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{6}}=3.$$
Первое число больше второго на $$\left(3-1\right)\cdot 100\%=200\%.$$
б) $$\sin 30^\circ=\frac12, \qquad \cos 120^\circ=-\frac12, \qquad \cos \frac{9\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
Тогда
$$\arccos(\sin 30^\circ+\cos 120^\circ)=\arccos 0=\frac{\pi}{2},$$
$$\arcsin\left|\cos \frac{9\pi}{4}\right|=\arcsin \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}.$$
Их отношение:
$$\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{4}}=2.$$
Первое число больше второго на $$\left(2-1\right)\cdot 100\%=100\%.$$
в) $$\cos \frac{9\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, \qquad \sin 30^\circ=\frac12, \qquad \cos 120^\circ=-\frac12.$$
Тогда
$$\arcsin\left(\cos \frac{9\pi}{4}\right)=\arcsin \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},$$
$$\arccos(\sin 30^\circ+\cos 120^\circ)=\arccos 0=\frac{\pi}{2}.$$
Первое число меньше второго в
$$\frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}}=\frac12$$
раза, то есть на $$\left(1-\frac12\right)\cdot 100\%=50\%.$$
г) $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos 150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \cos \frac{13\pi}{6}=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$\arccos(\sin 60^\circ+\cos 150^\circ)=\arccos 0=\frac{\pi}{2},$$
$$\arcsin\left(\cos \frac{13\pi}{6}\right)=\arcsin \frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}.$$
Их отношение:
$$\frac{\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{3}}=\frac32.$$
Первое число больше второго на $$\left(\frac32-1\right)\cdot 100\%=50\%.$$
Ответ
а) $$200\%$$; б) $$100\%$$; в) $$50\%$$; г) $$50\%$$.
