Упр.21.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите неравенство:
а) $$9\arcsin(2x)\leq\frac{\pi}{2}$$;
б) $$36\arctg(2x)>\frac{\pi}{2}$$;
в) $$16\arccos(2x)>\frac{\pi}{2}$$;
г) $$9\arcctg(2x)\leq\frac{\pi}{2}$$.
а) Пусть $$y=\arcsin x.$$ Тогда
$$9y^2\le \pi^2,$$
$$9y^2-\pi^2\le 0,$$
$$\left(3y-\pi\right)\left(3y+\pi\right)\le 0,$$
$$-\frac{\pi}{3}\le y\le \frac{\pi}{3}.$$
Так как $$y=\arcsin x,$$ то
$$-\frac{\pi}{3}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{3}.$$
Отсюда
$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\le x\le \sin\left(\frac{\pi}{3}\right),$$
$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\le x\le \frac{\sqrt{3}}{2}.$$
б) Пусть $$y=\arctg x.$$ Тогда
$$36y^2>\pi^2,$$
$$36y^2-\pi^2>0,$$
$$\left(6y-\pi\right)\left(6y+\pi\right)>0,$$
откуда
$$y<-\frac{\pi}{6}\quad \text{или}\quad y>\frac{\pi}{6}.$$
Следовательно,
$$\arctg x<-\frac{\pi}{6}\quad \text{или}\quad \arctg x>\frac{\pi}{6}.$$
Так как функция $$\arctg x$$ возрастает, получаем
$$x<\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)\quad \text{или}\quad x>\tg\left(\frac{\pi}{6}\right),$$
$$x<-\frac{\sqrt{3}}{3}\quad \text{или}\quad x>\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
в) Пусть $$y=\arccos x.$$ Тогда
$$16y^2>\pi^2,$$
$$16y^2-\pi^2>0,$$
$$\left(4y-\pi\right)\left(4y+\pi\right)>0,$$
откуда
$$y<-\frac{\pi}{4}\quad \text{или}\quad y>\frac{\pi}{4}.$$
Но $$\arccos x\in[0,\pi],$$ значит, неравенство $$\arccos x<-\frac{\pi}{4}$$ решений не имеет. Остаётся
$$\arccos x>\frac{\pi}{4}.$$
Так как функция $$\arccos x$$ убывает, то
$$x<\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
С учётом области определения $$-1\le x\le 1$$ получаем
$$-1\le x<\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
г) Пусть $$y=\arcctg x.$$ Тогда
$$9y^2\le \pi^2,$$
$$9y^2-\pi^2\le 0,$$
$$\left(3y-\pi\right)\left(3y+\pi\right)\le 0,$$
откуда
$$-\frac{\pi}{3}\le y\le \frac{\pi}{3}.$$
Так как $$\arcctg x\in(0,\pi),$$ то условие $$\arcctg x\le \frac{\pi}{3}$$ даёт
$$\ctg\frac{\pi}{3}\le x,$$
$$\frac{\sqrt{3}}{3}\le x.$$
Ответ
а) $$-\frac{\sqrt{3}}{2}\le x\le \frac{\sqrt{3}}{2};$$ б) $$x<-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ или $$x>\frac{\sqrt{3}}{3};$$ в) $$-1\le x<\frac{\sqrt{2}}{2};$$ г) $$x\ge \frac{\sqrt{3}}{3}.$$
