Упр.21.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   а) $$\arccos x > \frac{3\pi}{4}$$;
   б) $$\arctg x > -\frac{\pi}{4}$$;
   в) $$\arcsin x < \frac{3\pi}{4}$$;
   г) $$\arcctg x \leq \frac{5\pi}{6}$$.

а) $$\arccos x>\frac{3\pi}{4}$$

Так как функция $$y=\arccos x$$ убывает на промежутке $$[-1;1]$$, получаем:

$$x<\cos\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

С учётом области определения $$-1\le x\le 1$$ имеем:

$$-1\le x<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

б) $$\arctg x>-\frac{\pi}{4}$$

Так как функция $$y=\arctg x$$ возрастает на всей числовой прямой, то

$$x>\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Следовательно,

$$x>-1.$$

в) $$\arcsin x<\frac{3\pi}{4}$$

Но $$\arcsin x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$, а значит, для всех $$x\in[-1;1]$$ выполняется неравенство

$$\arcsin x<\frac{3\pi}{4}.$$

С учётом области определения:

$$-1\le x\le 1.$$

г) $$\arcctg x\le\frac{5\pi}{6}$$

Функция $$y=\arcctg x$$ убывает, поэтому

$$x\ge \ctg\frac{5\pi}{6}=\ctg\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\ctg\frac{\pi}{6}=-\sqrt3.$$

Значит,

$$x\ge -\sqrt3.$$

Ответ

а) $$-1\le x<-\frac{\sqrt2}{2}$$; б) $$x>-1$$; в) $$-1\le x\le 1$$; г) $$x\ge -\sqrt3$$.