Упр.21.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте функцию на чётность: а) $$y=\frac{\arcsin x}{x^4}$$; б) $$y=\sin^2 x+x\arcsin x$$; в) $$y=\arcsin x^3+3\cos 2x$$; г) $$y=2\operatorname{tg}x+x^5-3\arcsin 2x$$.

Проверим, выполняется ли для каждой функции условие чётности $$f(-x)=f(x)$$ или нечётности $$f(-x)=-f(x)$$.

1. $$y=\dfrac{\arcsin x}{x^4}$$

   $$y(-x)=\dfrac{\arcsin(-x)}{(-x)^4}=\dfrac{-\arcsin x}{x^4}=-y(x).$$

   Функция нечётная.

2. $$y=\sin^2 x+x\arcsin x$$

   $$y(-x)=\sin^2(-x)+(-x)\arcsin(-x)=\sin^2 x+x\arcsin x=y(x).$$

   Функция чётная.

3. $$y=\arcsin x^3+3\cos 2x$$

   $$y(-x)=\arcsin(-x)^3+3\cos(-2x)=\arcsin(-x^3)+3\cos 2x=-\arcsin x^3+3\cos 2x.$$

   При этом $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x).$$

   Функция ни чётная, ни нечётная.

4. $$y=2\tg x+x^5-3\arcsin 2x$$

   $$y(-x)=2\tg(-x)+(-x)^5-3\arcsin(-2x)=-2\tg x-x^5+3\arcsin 2x=-y(x).$$

   Функция нечётная.

Ответ: а) нечётная; б) чётная; в) ни чётная, ни нечётная; г) нечётная.