Упр.21.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\arcsin\left(2x+3\frac{1}{3}\right)=\arcsin\left(-\frac{2x}{9}\right)$$;
   б) $$\operatorname{arctg}\left(x^2-9\right)=\operatorname{arctg}8x$$;
   в) $$\arccos(3x+1)=\arccos(2x+5)$$;
   г) $$\operatorname{arcctg}\left(x^2-x\right)=\operatorname{arcctg}(4x-6)$$.

а) Так как функция $$\arcsin x$$ взаимно однозначна на своей области определения, то

$$2x+3\frac{1}{3}=-\frac{2x}{9}.$$

Умножим на $$9$$:

$$18x+30=-2x.$$

$$20x=-30,$$

$$x=-\frac{3}{2}.$$

Проверка области определения: $$2x+3\frac{1}{3}\in[-1;1]$$ и $$-\frac{2x}{9}\in[-1;1]$$ при найденном значении выполняется.

б) Для функции $$\arctg x$$ имеем

$$x^2-9=8x.$$

$$x^2-8x-9=0.$$

$$D= (-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=64+36=100.$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

$$x_1=-1,\quad x_2=9.$$

в) Так как функция $$\arccos x$$ взаимно однозначна, то

$$3x+1=2x+5.$$

$$x=4.$$

Но тогда

$$3\cdot 4+1=13>1,$$

то есть значение выражения $$3x+1$$ не принадлежит области определения функции $$\arccos x$$. Следовательно, корней нет.

г) Для функции $$\arcctg x$$ получаем

$$x^2-x=4x-6.$$

$$x^2-5x+6=0.$$

$$D=25-24=1.$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 1}{2}.$$

$$x_1=2,\quad x_2=3.$$

Ответ: а) $$-\frac{3}{2}$$; б) $$-1,\ 9$$; в) корней нет; г) $$2,\ 3$$.