Упр.21.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$\arcsin\left(\tg\frac{\pi}{4}\right)-\arcsin\left(\sqrt{\frac{3}{x}}\right)-\frac{\pi}{6}=0$$
   б) $$\arccos\left(\ctg\frac{3\pi}{4}\right)+\arctg\left(\sqrt{2x-1}\right)-\frac{7\pi}{6}=0$$

а) $$\arcsin\left(\tg \frac{\pi}{4}\right)-\arcsin\sqrt{\frac{3}{x}}-\frac{\pi}{6}=0.$$

Так как $$\tg \frac{\pi}{4}=1,$$ получаем

$$\arcsin 1-\arcsin\sqrt{\frac{3}{x}}-\frac{\pi}{6}=0.$$

Поскольку $$\arcsin 1=\frac{\pi}{2},$$ имеем

$$\frac{\pi}{2}-\arcsin\sqrt{\frac{3}{x}}-\frac{\pi}{6}=0,$$

$$\arcsin\sqrt{\frac{3}{x}}=\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$\sqrt{\frac{3}{x}}=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{3}{x}=\frac{3}{4}, \qquad x=4.$$

Проверка области допустимых значений: $$x>0,$$ значение $$x=4$$ подходит.

б) $$\arccos\left(\ctg \frac{3\pi}{4}\right)+\arctg\sqrt{2x-1}-\frac{7\pi}{6}=0.$$

Так как $$\ctg \frac{3\pi}{4}=-1,$$ то

$$\arccos(-1)+\arctg\sqrt{2x-1}-\frac{7\pi}{6}=0.$$

Поскольку $$\arccos(-1)=\pi,$$ получаем

$$\pi+\arctg\sqrt{2x-1}-\frac{7\pi}{6}=0,$$

$$\arctg\sqrt{2x-1}=\frac{\pi}{6}.$$

Тогда

$$\sqrt{2x-1}=\tg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Возводим в квадрат:

$$2x-1=\frac{1}{3},$$

$$2x=\frac{4}{3},$$

$$x=\frac{2}{3}.$$

Проверка ОДЗ: $$2x-1\ge 0,$$ при $$x=\frac{2}{3}$$ условие выполняется.

Ответ

а) $$4$$; б) $$\frac{2}{3}$$.