Упр.21.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\arcsin(3x^2-5x+1)=\frac{\pi}{2}$$;
2. $$\arctg(x^3-27-73)=-\frac{\pi}{3}$$;
3. $$\arccos(3x^2-10x+2{,}5)=\frac{2\pi}{3}$$;
4. $$\operatorname{arcctg}(x^3-8x^2+15x+1)=\frac{\pi}{4}$$.

а) $$\arcsin(3x^2-5x+1)=\frac{\pi}{2}$$

Тогда

$$3x^2-5x+1=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

Получаем:

$$3x^2-5x=0$$

$$x(3x-5)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\frac{5}{3}.$$

б) $$\arctg(x^3-27-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$$

Тогда

$$x^3-27-\sqrt{3}=\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$x^3-27=0,$$

$$x=3.$$

в) $$\arccos(3x^2-10x+2{,}5)=\frac{2\pi}{3}$$

Тогда

$$3x^2-10x+2{,}5=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}.$$

Получаем:

$$3x^2-10x+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2\cdot 3}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{1}{3}, \quad x_2=3.$$

г) $$\arcctg(x^3-8x^2+15x+1)=\frac{\pi}{4}$$

Тогда

$$x^3-8x^2+15x+1=\ctg\frac{\pi}{4}=1.$$

Следовательно,

$$x^3-8x^2+15x=0,$$

$$x(x^2-8x+15)=0,$$

$$x(x-3)(x-5)=0.$$

Отсюда

$$x=0,\; 3,\; 5.$$

Ответ: а) $$0;\ \frac{5}{3}$$; б) $$3$$; в) $$\frac{1}{3};\ 3$$; г) $$0;\ 3;\ 5$$.