Упр.21.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график функции: а) $$y=\arccos(\cos x)$$; б) $$y=\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}x)$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\arccos(\cos x).$$

Так как $$\cos(x+2\pi)=\cos x,$$ то функция периодична с периодом $$T=2\pi.$$ Кроме того, она чётная, поскольку

$$y(-x)=\arccos(\cos(-x))=\arccos(\cos x)=y(x).$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ имеем $$\arccos(\cos x)=x,$$ значит, здесь график совпадает с прямой $$y=x.$$

Далее график продолжается периодически с периодом $$2\pi$$ и симметрично относительно оси $$Oy$$. Поэтому на каждом промежутке вида $$[2\pi k;\,(2k+1)\pi]$$ функция возрастает от $$0$$ до $$\pi,$$ а на промежутке $$[(2k-1)\pi;\,2\pi k]$$ убывает от $$\pi$$ до $$0$$, где $$k\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\arctg(\tg x).$$

Так как $$\tg(x+\pi)=\tg x,$$ то функция периодична с периодом $$T=\pi.$$ Она нечётная, поскольку

$$y(-x)=\arctg(\tg(-x))=\arctg(-\tg x)=-\arctg(\tg x)=-y(x).$$

На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ выполняется тождество

$$\arctg(\tg x)=x,$$

то есть график совпадает с прямой $$y=x.$$

С учётом периодичности получаем, что на каждом промежутке

$$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\,\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad k\in\mathbb Z,$$

график — это отрезок прямой $$y=x-\pi k$$ с выколотыми концами; в точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k$$ функция не определена.

Ответ

График функции $$y=\arccos(\cos x)$$ — периодическая ломаная с периодом $$2\pi$$, совпадающая на $$[0;\pi]$$ с прямой $$y=x$$ и симметричная относительно оси $$Oy$$. График функции $$y=\arctg(\tg x)$$ — периодическая ломаная с периодом $$\pi$$, совпадающая на $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ с прямой $$y=x$$ и имеющая разрывы в точках $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$