Упр.21.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   а) $$y=\arccos x+\arccos(-x);$$
   б) $$y=\arccos\frac{1}{x}+\arccos\left(-\frac{1}{x}\right);$$
   в) $$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x);$$
   г) $$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x}).$$

Используем свойства обратных тригонометрических функций:

$$\arccos(-x)=\pi-\arccos x,$$

$$\operatorname{arcctg}(-x)=\pi-\operatorname{arcctg}x.$$

а)

$$y=\arccos x+\arccos(-x)=\arccos x+\pi-\arccos x=\pi.$$

Область определения: $$-1\le x\le 1.$$

График — отрезок прямой $$y=\pi$$ при $$x\in[-1;1].$$

б)

$$y=\arccos\frac1x+\arccos\left(-\frac1x\right)=\arccos\frac1x+\pi-\arccos\frac1x=\pi.$$

Найдём область определения:

$$-1\le \frac1x\le 1,$$

откуда

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

График — две горизонтальные полуоси $$y=\pi$$ при $$x\le -1$$ и $$x\ge 1.$$

в)

$$y=\operatorname{arcctg}x+\operatorname{arcctg}(-x)=\operatorname{arcctg}x+\pi-\operatorname{arcctg}x=\pi.$$

Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$

График — горизонтальная прямая $$y=\pi.$$

г)

$$y=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\operatorname{arcctg}(-\sqrt{x})=\operatorname{arcctg}\sqrt{x}+\pi-\operatorname{arcctg}\sqrt{x}=\pi.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

График — луч прямой $$y=\pi$$ при $$x\ge 0.$$

Ответ

а) $$y=\pi,\ -1\le x\le 1.$$

б) $$y=\pi,\ x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

в) $$y=\pi,\ x\in\mathbb{R}.$$

г) $$y=\pi,\ x\ge 0.$$