Упр.21.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: а) $$y=2\arcsin x$$; в) $$y=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$$; б) $$y=-4\arcsin x$$; г) $$y=\pi-2\arcsin x$$.

Так как $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x \le \frac{\pi}{2},$$ найдём область значений каждой функции.

1. $$y=2\arcsin x$$

   Умножим неравенство на $$2$$:

   $$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi.$$

   Значит, $$y\in[-\pi;\pi].$$

2. $$y=-4\arcsin x$$

   Умножим неравенство на $$-4$$, меняя знаки неравенств:

   $$2\pi \ge -4\arcsin x \ge -2\pi,$$

   то есть

   $$-2\pi \le -4\arcsin x \le 2\pi.$$

   Следовательно, $$y\in[-2\pi;2\pi].$$

3. $$y=\arcsin x+\frac{\pi}{2}$$

   Прибавим $$\frac{\pi}{2}$$ ко всем частям неравенства:

   $$0\le \arcsin x+\frac{\pi}{2}\le \pi.$$

   Значит, $$y\in[0;\pi].$$

4. $$y=\pi-2\arcsin x$$

   Из $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$$ получаем:

   $$-\pi \le -2\arcsin x \le \pi.$$

   Прибавим $$\pi$$:

   $$0\le \pi-2\arcsin x \le 2\pi.$$

   Следовательно, $$y\in[0;2\pi].$$

Ответ: а) $$[-\pi;\pi]$$; б) $$[-2\pi;2\pi]$$; в) $$[0;\pi]$$; г) $$[0;2\pi]$$.