Упр.21.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Постройте график функции:

• а) $$\sin\left(\arctg\frac{3}{4}\right)$$;
• б) $$\cos\left(\arcctg\frac{12}{5}\right)$$;
• в) $$\sin\left(\arcctg\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$;
• г) $$\cos\left(\arctg\left(-\frac{5}{12}\right)\right)$$.

Обозначим $$t=\operatorname{arctg}\frac{3}{4}.$$ Тогда $$\tg t=\frac{3}{4}, \quad t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ значит, $$\cos t>0.$$

Найдём косинус:

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{3}{4}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\sin\left(\operatorname{arctg}\frac{3}{4}\right)=\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}=\frac{3}{5}.$$

Пусть $$t=\operatorname{arcctg}\frac{12}{5}.$$ Тогда $$\ctg t=\frac{12}{5}, \quad t\in(0,\pi),$$ значит, $$\sin t>0.$$

Найдём синус:

$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{12}{5}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}}=\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\cos\left(\operatorname{arcctg}\frac{12}{5}\right)=\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{13}=\frac{12}{13}.$$

Пусть $$t=\operatorname{arcctg}\left(-\frac{4}{3}\right).$$ Тогда $$\ctg t=-\frac{4}{3}, \quad t\in(0,\pi),$$ следовательно, $$\sin t>0.$$

Найдём синус:

$$\sin t=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{4}{3}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}}=\frac{3}{5}.$$

Значит,

$$\sin\left(\operatorname{arcctg}\left(-\frac{4}{3}\right)\right)=\frac{3}{5}.$$

Пусть $$t=\operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{12}\right).$$ Тогда $$\tg t=-\frac{5}{12}, \quad t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ значит, $$\cos t>0.$$

Найдём косинус:

$$\cos t=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(-\frac{5}{12}\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{144}}}=\frac{12}{13}.$$

Следовательно,

$$\cos\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac{5}{12}\right)\right)=\frac{12}{13}.$$

Ответ: а) $$\frac{3}{5}$$; б) $$\frac{12}{13}$$; в) $$\frac{3}{5}$$; г) $$\frac{12}{13}$$.