Упр.21.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Постройте и прочитайте график функции:
а) $$y=\begin{cases}\operatorname{arctg}x,\ если\ x\leq 0,\\ \sqrt{x},\ если\ x>0;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}\operatorname{arctg}x,\ если\ x\leq 1,\\ \operatorname{arctg}x,\ если\ x>1.\end{cases}$$
а) Функция задана по частям:
$$y=\begin{cases} \arctg x, & x\le 0,\\ \sqrt{x}, & x>0. \end{cases}$$
При $$x\le 0$$ строим график функции $$y=\arctg x$$, а при $$x>0$$ — график функции $$y=\sqrt{x}$$.
Точка $$x=0$$ принадлежит первой части, поэтому $$y(0)=\arctg 0=0$$. Для второй части удобно взять несколько точек:
$$x=1 \Rightarrow y=1,\qquad x=4 \Rightarrow y=2.$$
График состоит из левой ветви $$y=\arctg x$$ и правой ветви $$y=\sqrt{x}$$, соединяющихся в точке $$\left(0;0\right)$$.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- $$E(f)=\left(-\dfrac{\pi}{2};+\infty\right)$$;
- функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;
- $$f(x)>0$$ на $$\left(0;+\infty\right)$$;
- $$f(x)<0$$ на $$(-\infty;0)$$;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- функция не является периодической.
б) Функция задана по частям:
$$y=\begin{cases} \operatorname{arcctg} x, & x\le 1,\\ \arctg x, & x>1. \end{cases}$$
При $$x\le 1$$ строим график функции $$y=\operatorname{arcctg} x$$, при $$x>1$$ — график функции $$y=\arctg x$$.
В точке склейки:
$$y(1)=\operatorname{arcctg}1=\dfrac{\pi}{4},\qquad y(1)=\arctg 1=\dfrac{\pi}{4}.$$
Значит, графики соединяются в точке $$\left(1;\dfrac{\pi}{4}\right)$$.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- $$E(f)=\left[\dfrac{\pi}{4};+\infty\right)$$;
- функция убывает на $$(-\infty;1]$$;
- функция возрастает на $$[1;+\infty)$$;
- $$f(x)>0$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- функция не является периодической.
Ответ: графики составлены из указанных ветвей функций; для пункта а) точка соединения $$\left(0;0\right)$$, для пункта б) — $$\left(1;\dfrac{\pi}{4}\right)$$.
