Упр.21.39 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область значений функции: а) $$y=2\operatorname{arctg}x$$; в) $$y=1{,}5\operatorname{arcctg}x-\frac{\pi}{2}$$; б) $$y=-\frac{1}{2}\operatorname{arcctg}x$$; г) $$y=\pi-2\operatorname{arctg}x$$.

Используем области значений функций $$\arctg x$$ и $$\arcctg x$$:

$$-\frac{\pi}{2}<\arctg x<\frac{\pi}{2}, \qquad 0<\arcctg x<\pi.$$

1. $$y=2\arctg x.$$

   Умножим неравенство $$-\frac{\pi}{2}<\arctg x<\frac{\pi}{2}$$ на $$2$$:

   $$-\pi<2\arctg x<\pi.$$

   Значит, $$y\in(-\pi;\pi).$$

2. $$y=-\frac12\arcctg x.$$

   Из $$0<\arcctg x<\pi$$ получаем:

   $$-\frac{\pi}{2}<-\frac12\arcctg x<0.$$

   Следовательно, $$y\in\left(-\frac{\pi}{2};0\right).$$

3. $$y=1{,}5\arcctg x-\frac{\pi}{2}.$$

   Так как $$0<\arcctg x<\pi,$$ то

   $$0<1{,}5\arcctg x<\frac{3\pi}{2}.$$

   Вычтем $$\frac{\pi}{2}$$:

   $$-\frac{\pi}{2}<1{,}5\arcctg x-\frac{\pi}{2}<\pi.$$

   Значит, $$y\in\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right).$$

4. $$y=\pi-2\arctg x.$$

   Из $$-\frac{\pi}{2}<\arctg x<\frac{\pi}{2}$$ следует:

   $$-\pi<-2\arctg x<\pi.$$

   Прибавим $$\pi$$:

   $$0<\pi-2\arctg x<2\pi.$$

   Следовательно, $$y\in(0;2\pi).$$

Ответ: а) $$(-\pi;\pi)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{2};0\right)$$; в) $$\left(-\frac{\pi}{2};\pi\right)$$; г) $$(0;2\pi).$$